بهترین مثال برای معنای مدل سازی ریاضی و اقسام آن

به مناسبت ولادت حضرت علی علیه السلام تصمیم گرفته ام یکی از شاهکارهای محاسباتی حضرت علی را بیاورم.

البته از این داستانها چند نمونه در وبلاگهایی نظیر باعلی، امام علی، حضرت علی، ، من و ریاضی ، و  در پایگاههایی نظیر گفت وگوی دینی، مرکز نشر اعتقادات، شبکه ملی رشد و دیگر پایگاه ها آمده است. اما هدف در این جا ارتقاء سطح ریاضیات قومی است. یعنی ارتقاء سطح محاسباتی آن و افزایش سطح برداشت ما از این داستان.

داستانی که در زیر می آید بهترین مثال برای فهم معنای مدل سازی است.(از کتاب آمار و مدل سازی خیلی بهتر است) احتمالا همه شما این داستان را شنیده اید اما توصیه می شود نتایجی که در پایان این داستان می آید را به هیچ وجه از دست ندهید...

دو نفر با هم به سفر می رفتند ، وقت غذا خوردن فرا رسید ، یکی از آنان پنج نان و دیگری سه نان  از سفره خود بیرون آوردند ، در این اثناء مردی از کنارشان عبور کرد، آنان رهگذر را به خوردن غذا دعوت نمودند و هر سه با هم نانها را تمام کردند، رهگذر خواست برود، پس عوض غذایی که خورده بود هشت درهم به ایشان داد. در موقع تقسیم پول نزاعشان درگرفت.

صاحب سه نان به صاحب پنج نان می گفت : درهمها را نصف تقسیم می کنیم، صاحب پنج نان می گفت : این تقسیم عادلانه نیست، بلکه من پنج درهم و تو سه درهم می برد، به نسبت نانهایی که گذاشته ایم.
ولی طرف نپذیرفت تا این که خصومت به نزد امیرالمومنین (ع) بردند. علی (ع) به آنان فرمود : بروید و با هم سازش کنید و در این موضوع بی ارزش نزاع و اختلاف نکنید، آنان گفتند : در هر صورت شما حق را برای ما بیان بفرمایید.
پس آن حضرت (ع) درهمها را به دست گرفت و هفت درهم به صاحب پنج نان و یک درهم به آن که سه نان داشت داد و به انان فرمود : مگر نه این است که هر یک از شما دو نان و دو سوم نان (که هشت ثلثت می شود) خورده اید. گفتند بله . فرمود : بنابراین نانی که رهگذر مصرف کرده هفت ثلثش از صاحب پنج نان و یک ثلثش از صاحب سه نان بوده و روی همین نسبت پولها تقسیم می شوند. (منبع: فروع کافی ، کتاب القضا ، باب النوادر، حدیث 10 . تهذیب ، کتاب القضا ، باب الزیادات فی القضایا ، حدیث 12 . به نقل از وبلاگ قضاوتها و فضیلتهای حضرت علی)
روشهای بیان و سطوح محاسباتی:

سطح ساده و طولانی(چهار عمل اصلی روی اعداد صحیح): 8 نان داریم(8=5+3). هر نان را به 3 قسمت تقسیم می کنیم. پس 24 قسمت داریم(24=8*3) که به 3 نفر قرار است تقسیم شود. به هر کس 8 تکه نان می رسد(8=24/3). کسی که 3 نان داشته در واقع 9 تکه نان از اوست(9=3*3) و کسی که 5 تکه نان داشته 15 تکه از اوست(15=3*5) یا (15=9-24) و این دو هر کدام 8 تکه از آنها را خوردند. پس شخص اول 1 تکه را به رهگذر داده (1=8-9) و شخص دوم 7 تکه را به او داده است(7=8-15). پس سهم آنها به ترتیب 1 و 7 درهم است.

سطح بالاتر(اعداد کسری): 8 نان داریم که به سه نفر می خواهیم تقسیم کنیم. به هر کس 8/3 نان می رسد. یعنی شخص اول که 3 نان داشته 1/3 نان را به رهگذر داده است(1/3=8/3-9/3=8/3-3) و شخص دوم که 5 نان داشته 7/3 نان را به رهگذر داده است.(7/3=8/3-15/3=8/3-5) پس سهم آنها به ترتیب 1 و 7 درهم است.

سطح دیگر(اعداد مخلوط): 8 نان داریم که به سه نفر می خواهیم تقسیم کنیم. به هر کس 2 و 2/3 می رسد(2/3+2=8/3) نان می رسد. یعنی شخص اول که 3 نان داشته 1/3 نان را به رهگذر داده است(1/3=2/3-2-3) و شخص دوم که 5 نان داشته 1/3+2 نان را به رهگذر داده است.(خودتان حساب کنید) پس سهم آنها به ترتیب 1 و 7 درهم است.

برداشت دوم از این داستان:

در این داستان سه مدل سازی ریاضی از سوی سه نفر مطرح شد.

مدلسازی ساده و بی درد سر و پر از خطا(مسافر اول): 8 درهم وجود دارد و ما دو نفریم. 8 درهم تقسیم بر 2 نفر، نفری می شود 4 درهم.

مدلسازی کمی پیچیده تر برپایه گمان و ظن(مسافر دوم): 8 درهم به نسبت 5نان و 3 نان باید تقسیم شود یعنی 5 درهم و 3 درهم.

مدلسازی منطقی بر پایه استدلال(حضرت علی): به هر کس پولی باید برسد که نان اضافه به رهگذر داده با این پیش فرض که همه بصورت یکسان از آن خورده اند.

مدلسازی درست و واقعی (خدا): به هر کس باید پولی برسد که نان اضافه به رهگذر داده با محاسبه این که دقیقا هر کدام چقدر از نان را خورده اند.

نکته مهم: حضرت علی تاکید کردند که اگر با هر مدلسازی با هم به تفاهم برسید برای شما بهتر است. این یعنی اینکه اگر به مدلسازی حضرت علی راضی نمی شدند کار به جای باریکتر ممکن بود کشیده شود.(مثلا خدا حکم کند. البته این به معنای این نیست که امام علی از میزان مصرف نان هر کدام بی خبر بوده است.) این جاست که معنای حساب الله اعظم من حساب الناس برای ما مشخص می شود زیرا خداوند است که به قول قرآن «احصاه الله و نسوه» (خدا آن را به محاسبه آورده اما آنها آن موارد را فراموش کردند و به حساب نیاوردند)

نتیجه پایانی:

ما اگر جزئیات را به حساب نیاوریم(احصاء) دقت مدلسازی را کم کرده ایم. این مدل سازی می تواند دقیق و دقیقتر شود تا نیاز ما را رفع کند. مدلسازی می تواند با ابزارهای مختلف ریاضی انجام شود. هرچه سطح ریاضیاتی آن از سطح بالاتری برخوردار باشد مدلسازی با سرعت بیشتری ما را به جواب می رساند.